Les énoncés
Énoncé façon « problème ouvert »
Le paysagiste du parc municipal de la ville d’Honfleur doit réaliser l’aménagement suivant :
Dans un parterre carré, tracer trois allées rectangulaires représentant un H.
Le schéma ci-dessus illustre le projet.
Les dimensions sont données en m.
La surface de gazon devra être comprise entre 10 et 22 m².
Comment choisir les dimensions du parterre carré ? Expliquer.
- L’activité complète
Énoncé façon « évaluation diagnostique »
On considère le programme de calcul suivant :
Choisir un nombre.
Soustraire 150 à ce nombre.
Multiplier le résultat par le nombre de départ.
Ajouter 3600.
Annoncer le résultat final.
1. Montrer que si le nombre de départ est 200 le nombre d’arrivée est 13600.
Le nombre d’arrivée est-il proportionnel au nombre de départ ?
Marie dit qu’il est impossible d’obtenir un nombre d’arrivée négatif. Est-ce vrai ?
Est-il possible de trouver un nombre de départ qui donne 0 comme nombre d’arrivée ?
Jérémy dit qu’il n’est pas possible d’en trouver plus d’un. Est-ce vrai ?
Peux-tu trouver un ou plusieurs nombres de départ pour lesquels le résultat obtenu est 3600 ?
2. On appelle f la fonction qui au nombre de départ associe le résultat final du programme de calcul.
a) Quelle est l’image par f de 75 ? De 0 ? De 300 ?
b) Quels sont les antécédents de 13600 ? De 0 ? De -1400 ?
c) On a tracé en annexe la représentation graphique de f, dont une partie a été effacée, la
compléter à l’aide du tableau de valeurs.
3. Soit x le nombre de départ.
a) Exprimer en fonction de x le nombre d’arrivée f(x).
b) Montrer que f(x) peut aussi s’écrire : x² - 150x + 3600<.
c) Calculer l’image par f de 250.
d) Calculer f(130).
e) Résoudre f(x)=3600.
À la mode de Jean de la Varende - Bourg-Achard
Conditions
2 séances de 1h et 30 minutes de bilan.
Organisation : par groupe de 4, avec une calculatrice et du papier millimétré ; une feuille à rendre par groupe.
Recherche autonome, puis recherche avec quelques pistes, et résolution graphique ou calculatoire lors de la deuxième séance.
Compte-rendu noté ; bilan sur GeoGebra et tableur lors de la remise.
À la mode de Louise Michel - Manneville sur Risle
40 minutes de travail en binôme, suivies d’une mise en commun.
Sur l’ensemble des 13 binômes :
5 ont eu l’idée de poser pour x la largeur totale du parterre ;
4 ont l’idée de poser pour x la distance entre les deux barres du H ;
4 n’ont eu aucune idée.
Sur les 9 groupes ayant introduit la lettre x, la majeure partie est allée jusqu’au bout, c’est à dire qu’ils ont exprimé en fonction de x l’aire attendue et ont donné les dimensions du parterre. Pour cela, ils se sont servi de la touche « Fonction » de la calculatrice ou ont procédé par tâtonnements.
Un seul groupe a voulu tracer la courbe représentative de la fonction.
Point noir : Les 4 binômes qui n’ont pas eu l’idée d’introduire la lettre x, n’ont essayé aucune autre stratégie et sont restés bloqués pendant toute la première partie.
À la mode de Jacques Prévert - version 1
Conditions
Évaluation diagnostique individuelle, en classe, durant environ 45 minutes, suivie d’une correction en classe à la séance suivante.
Étude du problème ouvert peu après, par groupes de 2. Peu d’élèves se sont aperçu des liens entre les deux énoncés.
À la mode de Jacques Prévert - version 2
Uniquement le problème ouvert, comme introduction à la notion de fonction (septembre - octobre).
Conditions
une heure de travail de groupe (par 3 ou 4) : analyse du problème, mise en équation... Le professeur passait pour valider les idées.
deux heures classe entière : analyse d’une première modélisation, tracé de courbe ; cours sur les notions relatives aux fonctions dégagées grâce à l’étude.
une dernière heure pour étudier une seconde modélisation.
À la mode de Jacques Prévert - version 3
En demi-classe, les élèves ont réalisé individuellement la figure sur ordinateur à l’aide du logiciel de géométrie dynamique GeoGebra. La seule aide technique fournie fut la description de l’outil « compas » qui permet de reporter des longueurs.
Après cette heure, en classe entière, les élèves ont résolu le problème algébriquement, ce qui a permis divers rappels et l’introduction aux fonctions.
