Maths au lycée Prévert

Des problèmes de suites...

Les élèves de Première L 2010-2011 ont rédigé, à leur façon, une série d’exercices de type bac sur le thème des suites.

Les consignes :

 prévoir l’étude de deux suites, l’une arithmétique, l’autre géométrique ;
 rédiger un contexte approprié, et des questions du même type que celles posées au baccalauréat ;
 prévoir des questions ayant trait au tableur ;
 éventuellement, créer des données "réelles" à comparer aux modèles représentés par les deux suites. Se poser la question de l’adéquation des modèles à la réalité.

Le 1er janvier 2009, nous avons remarqué que le nombre de personnes se connectant par mois sur Facebook est de 50 mille.

Considérons que ces addicts à Facebook influencent les populations des alentours. On note alors une augmentation de leur nombre de 20% par mois.

Partie I

1. Quelle est la nature de la suite de nombres ainsi formée ?
2. Modéliser cette suite.
3. Calculer les quatre premiers termes.
4. Calculer le nombre de personnes se connectant à Facebook en juin 2009.
5. Représenter graphiquement cette suite.

Partie II

On considère qu’en 2030, Facebook perdra de sa popularité au profit d’un autre site. On imagine alors que la quantité de personnes se connectant au site diminue de 60% par an.

1. Quelle est la nature de la suite ainsi créée ?
2. Modéliser cette suite.
3. Calculer ses quatre premiers termes.
4. Dresser une feuille de calcul de tableur permettant de calculer automatiquement les termes de cette suite. On demande les formules utilisées.
5. En quelle année Facebook n’aura-t-il plus d’inscrits normands ?

Le nombre d’élèves internes garçons augmente de 3% par an sachant qu’ils étaient 61 en 2009.

Le nombre de filles augmente de 6% par an, elles étaient 40 en 2009.

1. Quel serait le nombre d’internes garçons en 2010 ? Et de filles internes en 2010 ?
2. On modélise le nombre d’internes filles et celui d’internes garçons par deux suites. Quelle est la nature de chacune de ces suites ?
3. Quel est le nombre d’internes prévisible en 2020 ?
4. La capacité de l’internat étant de 300 élèves, jusqu’en quelle année pourra-t-il accepter de nouveaux internes ?
5. Compléter le tableau ci-dessous avec les résultats obtenus. Quelles sont les formules de tableur que l’on pourrait utiliser pour remplir ce tableau automatiquement ?

Durant l’année 1800, Yolande, une habitante de Lotus, se rend compte que son village use 900 rouleaux de papier-toilette par an.

Première partie

Yolande constate le 1er janvier 1801 que la consommation de papier-toilette a augmenté de 35 rouleaux. L’année 1800 est notée « année 0 ».

1. On note $u_n$ le nombre de rouleaux consommés l’année numéro n. On suppose dans cette partie que le nombre de rouleaux consommés augmente de la même quantité chaque année. Quelle est la nature de cette suite ?
2. Exprimer $u_n$ en fonction de n.
3. Calculer les cinq premiers termes de $(u_n)$.
4. Calculer la consommation de papier-toilette en 1817.
5. Tracer la représentation graphique de $(u_n)$.

Deuxième partie

Yolande fait une autre hypothèse : la consommation de papier-toilette dans le village de Lotus augmente de 3% par an. 1800 reste l’année 0.

1. Quelle est la nature de cette nouvelle suite, notée $(v_n)$ ?
2. Exprimer $v_n$ en fonction de n.
3. Calculer les cinq premiers termes de $(v_n)$, en arrondissant les résultats à l’unité la plus proche.
4. Calculer de nouveau la consommation de papier-toilette en 1817 à l’aide de cette suite.
5. Quel est le pourcentage d’évolution de la consommation de papier-toilette entre 1800 et 1817 ? (arrondir au centième).
6. Compléter le tableau ci-dessous avec les résultats trouvés, et déterminer les formules tableur qui auraient permis de le compléter automatiquement.

Au cours d’une promenade, un jeune garçon adopte un petit lapin qu’il appelle Panpan, ce premier janvier 2000 restera une journée mémorable pour lui. Après une année de vie commune, Tony se rend compte que la consommation annuelle de carottes par Panpan est de 100 la première année.

Première partie

En grandissant et devenant gourmand, la consommation de carottes de Panpan augmente de 50 chaque année. On note $u_n$ la consommation de carottes l’année $2000+n$.

1. Avec ces informations, donner les cinq premiers termes de la suite $(u_n)$ sous forme de tableau. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ?
2. Construire une feuille de calcul et indiquer les formules à appliquer dans chaque cellule pour obtenir les valeurs de la suite $(u_n)$.
3. Avec cette modélisation, indiquer quelle sera la consommation annuelle de carottes par le lapin en 2006.

Deuxième partie

Répondre aux mêmes questions que ci-dessus, avec la modélisation suivante : $v_0=100$ et $v_{n+1}=v_n$ augmenté de 25%.

Troisième partie

En 2006, Tony relève en réalité une consommation annuelle de 403 carottes. Quelle modélisation se rapproche le plus de la vérité ?