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M. Seguin emmène chaque année sa chèvre Blanchette brouter dans les alpages. C’est un lieu magnifique, en particulier la vallée qu’il a choisie : bordée de hautes falaises au nord et au sud, et un charmant petit torrent la traversant d’est en ouest, Blanchette adore sauter par dessus !
M. Seguin adore sa chèvre mais ne connaît que trop bien ses penchants de fugueuse. . . Il a donc décidé cette année d’emporter 120 m de fil de fer barbelé pour lui faire un champ bien clôturé. En effet, tout le monde sait (...)
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Si vous restez debout, les bras le long du corps, votre stabilité dépend de la position de vos pieds (et bien sûr de leur taille, mais il est difficile d’en changer !).
Le but est de déterminer la position la plus stable : quelle ouverture pour obtenir une stabilité maximale ?
Sachant que la stabilité est maximale quand l’aire du polygone coloré est maximale, déterminer la position de vos pieds pour laquelle la stabilité est (...)
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Vous venez de plaquer l’ex-amour de votre vie ! Vous l’abandonnez sur la jetée
(altitude de ses yeux humides : 4 m) et ramez irrésistiblement vers le large (altitude de vos yeux impitoyables : 1 m).
À quelle distance du rivage échapperez-vous à son regard déchirant, en disparaissant de son horizon ?
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Minimiser la surface de métal nécessaire à la conception d’une boîte d’un litre.
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Un lapin mathématicien se déplace par sauts paraboliques.
Le sol étant représenté par l’axe des abscisses dans un repère orthonormé, un saut du lapin est représenté par la courbe de la fonction :
$f(x)=-x^2+ax+b$
avec a et b deux nombres réels.
Des chasseurs rôdent... Le lapin se trouve à 20 mètres de son trou. Les herbes hautes assurent son invisibilité s’il ne saute pas à plus de 50 cm.
Combien de sauts lui faudra-t-il pour se retrouver à l’abri ?
Question subsidiaire : préciser la longueur de chaque (...)
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Un spaghetti est cassé en trois morceaux.
Dans quels cas ces trois morceaux permettent-ils de construire un triangle ?
Peut-on calculer la probabilité de ce phénomène ?
Pour aller plus loin : algorithmes et démonstrations avec XCAS
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Un lièvre et une tortue font une course. L’arrivée se trouve à 6 cases du départ.
On lance un dé équilibré à six faces. Si le 6 sort, le lièvre gagne ; sinon, la tortue avance d’une case. On continue jusqu’à ce qu’il y ait un gagnant.
Quelle est la situation la plus enviable, celle du lièvre ou celle de la tortue ?
Inspiration : formation aux nouveaux programmes de première - académie de (...)
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Un fil de fer a pour longueur 4,5 m.
On le coupe en deux morceaux : on plie le premier morceau en forme de carré et le second morceau en forme de rectangle dont une dimension est 1 m.
Déterminer les longueurs possibles du premier morceau pour que l’aire du rectangle soit plus grande que celle du carré.
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Un parc a la forme d’un hexagone régulier de 2 km de côté. Alice marche le long du périmètre du parc et parcourt 5 km.
À combien de kilomètres en ligne droite est-elle de son point de départ ?
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Une équerre ABC est placée de telle sorte que le point A est situé sur l’axe des ordonnées et le point B sur l’axe des abscisses. On déplace l’équerre en faisant glisser A et B sur les axes.
Comment se déplace C ?
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La bibliothèque d’une ville est un bâtiment moderne : les livres sont dans un cylindre central et ils sont accessibles par un couloir circulaire. On mesure la plus grande distance possible dans le couloir, c’est-à-dire une corde du grand cercle extérieur, tangente au cercle intérieur qui contient les livres : on obtient 18,4 m.
Comment trouver l’aire du couloir ?
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Dans ce triangle équilatéral, le point M est situé à 3 cm d’un premier sommet, à 4 cm d’un second sommet et à 5 cm d’un troisième.
Quelle est l’aire de ce triangle équilatéral ?
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Une pyramide régulière est inscrite dans un cube de côté 1.
Quel est le volume exact de cette pyramide ?
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Victor est patient et méticuleux. Il s’applique à construire des châteaux de cartes suivant le modèle ci-dessous.
Victor aimerait construire un grand château utilisant toutes ses cartes. Hélas, son édifice s’effondre toujours bien avant qu’il soit achevé.
Victor n’a que des jeux de 52 cartes.
Combien de jeux lui faudrait-il pour, en utilisant toutes ses cartes, réaliser le château dont il rêve ? Combien d’étages aurait-il (...)
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Il était une fois une ferme, dans laquelle vivaient en nombre égal cochons, vaches, lapins et chevaux. Survint une terrible épidémie et l’on entendit les plaintes des fermiers.
-- Le père : « Une vache sur cinq est morte ! »
-- La mère : « Il y a autant de chevaux morts que de cochons survivants. »
-- Le fils : « La proportion de lapins survivants parmi les animaux encore en vie est de 5/14. »
-- La grand-mère : « La mort n’a épargné aucune espèce animale. »
Le père, la mère et le fils ont raison.
La (...)
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Le trois-mâts Belem croise à la vitesse constante de 6 nœuds au large des Sables d’Olonne en faisant route Nord-Sud.
La vigie aperçoit à 30 degrés bâbord un petit voilier croisant d’Est en Ouest a la vitesse constante de 3 nœuds, distant de 1 mille.
Lorsque les deux bateaux seront à la même latitude, quelle distance les séparera au mètre près ?
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On construit un circuit miniature de la façon suivante :
On trace un cercle de centre O et de rayon 40 cm.
[AB] et [CD] sont deux diamètres perpendiculaires.
Le cercle de centre C passant par D coupe la demi-droite [CB) en E ; cela donne l’arc DE pour le circuit.
Le cercle de centre D passant par C coupe la demi-droite [DB) en F ; cela donne l’arc CF pour le circuit.
On termine le circuit en traçant l’arc EF, quart de cercle de centre B.
Déterminer la valeur exacte de la longueur du (...)
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Un bateau avance sans varier cap.
À un instant donné, le capitaine annonce qu’il voit le fort Boyard sous un angle de 22 degrés — sous entendu par rapport a son cap.
Un mille plus loin, il voit ce même fort sous un angle de 34 degrés.
À quelle distance minimale du fort passera le bateau ?
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On ajoute à un carré un rectangle dont un des côtés est commun au carré, et dont l’autre mesure 10.
Question 1 : La surface totale obtenue est 39. Quel est le côté du carré ?
Question 2 : Deux carrés ont des côtés de longueurs entières, qui diffèrent de 1. Chacun subit la transformation décrite ci-dessus.
Que peut-on dire des deux aires totales obtenues ?
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Un menuisier doit découper une poutre parallélépipédique de volume maximal dans la chute définie ci-dessous.
Aidez le menuisier dans sa dure tâche.
Note : le prisme est droit, sa base est un triangle isocèle.
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Sur une plage, une colonie décide d’installer une zone limitée de baignade. Pour cela, elle instaure un périmètre de sécurité à l’aide d’une barrière de bouées. La longueur totale de cette barrière est 150 mètres.
Quelle est l’aire de la zone de baignade ?
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C est un cercle de centre O.
A est un point du cercle C.
D est le disque délimité par le cercle C.
M est un point déterminé aléatoirement, de manière équiprobable, sur la surface du disque D.
Quelle est la probabilité que M soit plus proche de O que de A ?
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Un homme sort d’un bar situé à exactement 30 pas en ligne droite de chez lui. Mais l’homme n’arrive pas à marcher droit. Chaque pas qu’il fait vers l’avant (en direction de sa maison) est soit vers la droite, soit vers la gauche. La probabilité qu’il se déplace vers la droite et celle qu’il se déplace vers la gauche sont égales.
Calculer la probabilité que cet ivrogne arrive chez lui après avoir fait exactement 30 (...)
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Boris a chez lui un grand aquarium dont le fond mesure 80 cm sur 40 cm et qui est profond de 60 cm. Il a rapporté de ses vacances un magnifique petit poisson nommé Oscar. Seul problème : Oscar sème la panique dans l’aquarium.
Boris achète donc une plaque de grillage de 50 cm sur 40 cm, qu’il peut éventuellement plier. Il veut l’utiliser pour séparer des autres poissons son nouveau pensionnaire.
Comment doit-il fixer le grillage dans l’aquarium pour qu’Oscar dispose du plus grand volume d’eau possible (...)
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Deux bacs partent en même temps des deux rives opposées de l’Hudson, l’un allant de Jersey City à New York, l’autre de New York à Jersey City. L’un étant plus rapide, ils se croisent à 720 mètres de la rive la plus proche.
Une fois arrivés à leur destination, les deux bateaux restent dix minutes à quai pour débarquer et prendre des passagers, puis ils repartent vers leur point de départ et se croisent à nouveau à 400 mètres de la rive la plus proche.
Quelle est la largeur exacte du fleuve (...)
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Une caisse cubique de 0,70 m d’arête est posée contre un mur.
On monte à cet endroit, contre le mur, une échelle de 2,50 m de longueur, en contact avec l’arête supérieure de la caisse.
Quelle est la hauteur entre le sol et le sommet de l’échelle ?
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ABCD est un parc carré de côté 10 mètres.
Il passe un cours d’eau de largeur 1 mètre à travers ce parc, matérialisé par le rectangle EFGH avec AE=6 mètres.
Où placer le pont MN pour que le trajet de A à C soit le plus court possible ?
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Dans un cylindre de diamètre 16 cm et de hauteur 25 cm on place une bille de rayon 7 cm et on complète avec de l’eau jusqu’à affleurement.
On retire la bille, on plonge une bille de rayon quelconque.
La bille sort-elle de l’eau ? Est-elle sous l’eau ? Y-a-t-il affleurement ?
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Peut-on recouvrir intégralement une table carrée de côté 90 cm avec 2 nappes circulaires de rayon 50 cm ?
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C est un quart de cercle de centre O et d’extrémités A et B, avec OA=20 mètres.
Sur [OA] se déplace un canon, qui tire un harpon parallèlement à (OB). Le harpon entraîne avec lui deux câbles, reliés à O et à B. Il se plante dans le quart de cercle en M, et les câbles se tendent.
On ne sait plus comment régler l’arrêt du canon avant qu’il ne tire... Quelle est la probabilité pour que la longueur des câbles, une fois tendus, soit supérieure à 40 mètres ?
Question subsidiaire : que se passe-t-il si le canon se (...)
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Quand un cube en fil de fer est plongé dans du savon liquide, le film de savon qui se forme ressemble à la figure ci-dessus ; ce film cherche naturellement à avoir une aire minimale.
Déterminer le côté du carré central donnant l’aire minimale pour le film de savon.
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Le rayon de la boule est quatre fois celui du cochonnet.
Ils sont placés dans une boîte de 12 cm de côté. Leurs centres sont situés sur les diagonales du carré.
Quels sont leurs rayons ?
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Une corde non élastique de 11 mètres est attachée au sol entre deux piquets distants de 10 mètres.
Tam part du premier piquet en levant la corde aussi haut qu’il le peut. Au bout de quelle distance, si c’est possible, arrivera-t-il à passer sous la corde ?
Donnée numérique : Tam mesure 1,68 m.
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Antoine et Blaise jouent aux dés : Antoine lance un dé cubique deux fois de suite. Il gagne s’il obtient deux six consécutifs.
« Je parie que j’y arriverai en 6 essais au maximum » affirme-t-il.
Antoine a-t-il plus de chances de gagner ou de perdre à ce jeu ?
À partir de combien d’essais a-t-il plus de chances de gagner que de perdre ?
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Trois boules sphériques identiques reposent sur un sol plan, elles se touchent deux à deux et touchent également le cochonnet, petite boule qui repose elle aussi sur le sol.
Les boules ont un diamètre de 78 millimètres.
Quel est le diamètre du cochonnet ?
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Quelle est la probabilité de tomber sur la fève en coupant la galette des rois ?
Marmite - Juillet 2014
Une marmite de 18 cm de profondeur contient exactement 25 litres d’eau lorsqu’elle est remplie à ras-bord.
Quel est, en centimètres, le diamètre du bord supérieur de la marmite sachant que c’est le double du diamètre du fond de cette marmite ?
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Dans la ville de Prague, on trouve des monuments sur lesquels les dates entre 1801 et 1900 sont écrites de bien curieuse façon. Ainsi sur un monument, la date du 9 décembre 1824 s’écrit :
Cette date est particulière car :
Trouver toutes les dates du XIXème siècle pour lesquelles à Prague, la fraction située au centre est égale à la fraction ayant 18 pour numérateur et le nombre constitué des deux derniers chiffres de droite de l’année pour (...)
